Вычисления в римской системе счисления. Римская система счисления — Гипермаркет знаний

Ученик 6 класса школы №1231 Воронин Александр

Римская система счисления основана на употребление особых знаков для десятичных разрядов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Римская система счисления Александр Воронин, 6 «А» класс, школа 1233, г. Москва

Римские цифры Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, Х =10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх. Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Римские цифры (продолжение) Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр, например: I = 1 X = 10 II = 2 XX = 20 III = 3 XXX = 30 При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая - перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). VI = 6 XIX = 19 IV = 4 XXI = 21 Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

Непозиционная система счисления Непозиционные – это такие системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любого символа постоянен, и зависит только от его начертания. Позиция (место) символа в числе значения не имеет. Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ. Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма символов (цифр). Наша десятичная система счисления – позиционная. В зависимости от места положения один и тот же символ (цифра) может обозначать единицы, десятки, сотни и т.д. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Недостатки непозиционных систем - для записи больших числе приходиться вводить новые цифры; - невозможно записывать дробные и отрицательные числа; - сложно выполнять арифметические операции.

Сложение и вычитание Сложить два римских числа не очень сложно: XIX + XXVI = XXXV Последовательность выполнения сложения такова: а) IX+VI: I после V "уничтожает" I перед X, поэтому в результате получаем XV; б) X+XX=XXX, если добавить еще один X, получим XXXX, или XL. Сложность вычитания римских чисел приблизительно такая же. Но чтобы из 500 вычесть 263, 500 надо сначала разложить на более мелкие составляющие и «сократить» повторяющиеся в уменьшаемом и вычитаемом знаки: D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII

Умножение С умножением дело обстояло сложнее. Пусть требуется умножить 126 на 37 (знаки действий будем употреблять современные; у римлян их не было, названия действий писались словами). СХХVI * XXXVII? Приходится умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем складывать все произведения. Такая техника выполнения умножения аналогична умножению многочленов.

Умножение: способ I CXXVI * XXXVII = CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * V = DCXXX CXXVI * I = CXXVI CXXVI * I = CXXVI =MMMDCCCCCCCCCLLLXXXXXXXXXXVVII= = MMMMDCLXII = 4662 А если бы мы попробовали умножить при помощи римских цифр 84573 и 4768? Сколько листов бумаги пришлось бы исписать, какова вероятность наделать при этом ошибок и описок...

Умножение (способ II) Другой способ умножения - через двоичную арифметику. Удвоить число в римской записи сравнительно просто, как и поделить на два. Умножим 3 7=X XX VII на 1 2 6 = C XX V I Запишем два числа рядом с разделителем и будем одно из них делить, второе умножать на два, записывая полученное в столбик. X XX VII (37) C XX V I (126) LXXIV (74=37*2) LXIII (63=126:2) CXLVIII (148=74*2) X XXI (31=63:2 – округляем вниз до целого числа) CCLXLVI (296=148*2) XV (1 5 =3 1:2 – округляем вниз до целого числа) DLXLII (592=296*2) VII (7 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) MCLXXXIV (1184=592*2) III (3 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) MMCCCLXVIII (2368=1184*2) I (1 = 15:2 – округляем вниз до целого числа) Теперь нужно сложить числа в первом столбике, но не все, а только те, которые стоят напротив нечётных чисел во втором столбике: MMCCCLXVIII + MCLXXXIV + DLXLII + CCLXLVI + CXLVIII + LXXIV = = MMMMDCLXII = 4662

Деление Выполнение деления было очень сложным в римской системе счисления. Для этого использовался специальный инструмент – абак. Только «высоко образованные» люди умели работать на нём.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ В римской системе счисления не было нуля. Не было даже такого понятия, как «ничего». Большинство исследователей сходятся во мнении, что максимальным является число 4999 (MMMMCMXCIX) Римлянам не надо было знать таблицу умножения. Как видно из примера на стр.8, нужно было уметь умножать на 1 и 10 – очень простые действия – и на 5. Те, для кого последнее действие представляло трудность, могли заменить его на умножение на 10 и деление на 2. Вот бы нам так!

Применение В наше время римские цифры используются для обозначений Века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э. Порядкового номер монарха: Карл V, Екатерина II. Номера тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав). В некоторых изданиях - номеров листов с предисловием к книге. Маркировки циферблатов часов, в том числе на кремлевских курантах. Важных событий или пунктов списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XX съезд КПСС, Игры XXII Олимпиады. В химии, медицине, юриспруденции.

А теперь самое интересное… Задачки с римскими цифрами: необходимо переложить одну палочку и получить верное равенство VI – IV = IX VI – IV = VII VI + IV = XII А эта задачка для Ольги Викторовны – нашей учительницы по математике (подсказала мама) VII + V = VI

Головоломка Профессор Нумерус преподает в университете латынь и историю. В свободное время он любит решать головоломки, а также придумывает их для внуков. Однажды он выиграл на конкурсе 10 000 евро. Он разделил деньги среди своих внуков следующим образом: Мартина (Martina) получила 1000 евро, Даниэль (Daniel) – 500 евро, Кристина (Christine) – 100 евро, Леон (Leon) – 50 евро, Ксафер (Xaver) – 10 евро, Виктория (Victoria) – 5 евро, а Инго (Ingo) – только 1 евро. Внуки считают это несправедливым. Но профессор Нумерус смеется. Кто догадается почему он так разделил деньги, получит оставшуюся сумму.

Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.

Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.

Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 - три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей). Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).

В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).

Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.

На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.

По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.

Слайд 2

Цель работы:

Познакомиться с историей возникновения и развития римской системы счисления Познакомиться с правилами составления чисел римской системы счисления Узнать,как выполняли арифметические действия с этими числами

Слайд 3

ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ

Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1-I 5-V 10-X 50-L 100-C 500-D 1000-M Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X – две таких руки. Но есть и другое объяснение.Когда счёт шёл десятками, то нарисовав 9 палочек,десятой из перечёркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечёркивали одну палочку и писали так: Х. Так и получилась эта римская цифра, а цифру 5 писали просто разрезав X пополам. Так получилась V.

Слайд 4

Спорят учёные и о происхождении других римских чисел. Возможно, что обозначения С,М связаны с римскими названиями сотен и тысяч:1000- *милле* (слово *миля* когда-то обозначало расстояние в тысячу шагов). Обозначая числа, римляне записывали столько цифр,чтобы их сумма давала нужное число.Например число 7 они записывали так – VII, а число 362 – CCCLXII. Как видите, сначала идут большие числа, а затем меньшие. Но иногда римляне писали меньшую цифру перед большой. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось как IV (без одного 5), а число 9 – IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что если вы увидите на старинном доме надпись сделанную римскими цифрами MDCCCXLIV , то легко определите, что он построен в 1844 году. Самым большим числом, которое умели обозначать римляне, было 100 000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова *сотен тысяч* опускались. Запись означала 10 сотен тысяч,то есть миллион.

Слайд 5

Хотя римская нумерация была не слишком удобной, она распространилась по всей ойкумене- так называли древние греки весь обитаемый древний мир. Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили их к своей империи. Со всех стран они взимали громадные налоги и при этом пользовались своим обозначением чисел. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула Римская империя, в деловых бумагах Западной Европы применялась эта неудобная нумерация. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы до 16 века.

Слайд 6

ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ

Для записи чисел в римской системе используются два правила: 1. Каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. 2. Каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

Слайд 7

ПРИМЕРЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ:

Пример 1. Число 444, имеющее в десятичной записи три одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV =(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида) Пример 2. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид: MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа, участвуют отдельные *цифры*. Пример 3. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII =(X+X+X)+(I+I)=30 +2 (две группы первого вида).

Издревле человек проявляет интерес к окружающему миру, пытается его изучить, а полученные знания систематизировать и упорядочить. Один из таких способ - счет. Для этого были придуманы В настоящее время существует множество способов счета и учета информации. В этой статье мы расскажем о том, что такое натуральные числа, какие бывают системы счисления, как их использовать, а также историю их возникновения.

Общие сведения

Так что такое натуральные числа? Определение говорит, что они являются простейшими, то есть используются в повседневной жизни для подсчета количества каких-либо предметов. В настоящее время применяется позиционная десятеричная система счисления. Приведем определение данному понятию. Системы счисления - это представление чисел при помощи письменных символов (знаков), символический способ записи чисел. Стоит разделять понятия "число" и "цифра". Первое представляет собой некую абстрактную сущность, меру для определения количества. Цифрами называют определенные символы, которые используются для записи чисел. Самая популярная и распространенная - это арабская система символов. В ней цифры представляются знаками от 0 (нуля) и до 9 (девяти). Именно она используется для обозначения натуральных чисел в настоящее время. Менее распространенной является римская система счисления. Но о ней подробнее мы расскажем дальше.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что натуральные числа - это те, которые используются для счета предметов, указывают на порядковый номер какого-либо предмета среди аналогичных. Например, 5, 18, 596, 10873 и так далее.

Что такое числовой ряд?

Все натуральные числа, которые располагаются в порядке возрастания, образуют так называемый числовой ряд. Свое начало он берет с наименьшей цифры - единицы. Самого большого числа нет, так как данный ряд бесконечен. Таким образом, если к последующему числу мы прибавляем один, то получим следующее число. Стоит отметить, что число ноль не является натуральным числом. Оно означает полное отсутствие чего-либо, не имеет под собой материального основания. Следовательно, ноль нельзя отнести к классу под названием "натуральные числа". Обозначается множество натуральных чисел при помощи заглавной латинской буквы N.

Как они появились?

В самые древние времена для написания чисел использовали палочки. Такой способ позаимствовали римляне для своей непозиционной системы счисления (что это такое, мы расскажем дальше). При этом число записывалось без каких-либо символов, а как разность или сумма палочек.

Следующий этап развития системы счисления - обозначение при помощи букв. Затем появился позиционный класс чисел, который используется и по сей день. Новаторами в этой области стали древние вавилоняне и индусы, придумавшие шестидесятеричную и десятеричную системы соответственно. Стоит отметить, что широко используемая арабская система является производной от древнеиндийской. Арабские математики только дополнили ее цифрой нуль.

Классификация системы счисления

Так как чисел намного больше, чем соответствующих цифр, то для их записи принято использовать комбинацию (набор) цифр. Малое количество чисел (небольшое по величине) обозначается одной цифрой. Выходит, что системы счисления - это способы записи числовых значений при помощи цифр. Величина может зависеть от того, в каком порядке идут цифры, а может и не иметь значения. Данное свойство определяется системами счета, что служит основанием для классифицирования. Существует три группы (класса).

1. Смешанные.
2. Позиционные.
3. Непозиционные.

В качестве примера первой группы приведем денежные знаки. Рассмотрим российскую монетарную систему. В ней используются купюры и монеты таких номиналов, как: один, два, пять, десять, сто, пятьсот, тысяча и пять тысяч рублей, а также одна, пять, десять и пятьдесят копеек. Чтобы получить определенную сумму в рублях, необходимо использовать соответствующее количество денежных знаков различного номинального достоинства. Например, микроволновая печь стоит 6379 российских рублей. Чтобы сделать покупку, можно взять шесть купюр номиналом в тысячу рублей, 3 банкноты по сто рублей, одну купюру в пятьдесят рублей, две - по десять, одну монету в пять рублей и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество монет или купюр, начиная от одной тысячи рублей и заканчивая копейкой, при этом заменяя неиспользуемые номиналы нулями, то получим следующее число: 603121200000. Если перемешать цифры в полученном ранее числе, то мы получим ложную цену на микроволновую печь. Поэтому такой способ записи относится к позиционному классу. Натуральные числа - это прямой пример позиционного класса.

Непозиционный класс - что это такое?

Непозиционная система счисления чисел характеризуются тем, что общая величина числа не зависит от положения цифры пи написании. Если к каждой цифре мы припишем соответствующий знак номинала, то такие составные символы (номинал плюс цифра) можно перемешивать. Другими словами, такая запись является непозиционной. В качестве чистого примера можно привести римскую систему. Ее рассмотрим более подробно.

Римские цифры

Этим понятием называют систему знаков (символов), которая была придумана древними римлянами для своей системы счисления. Суть ее состоит в следующем: все натуральные числа записываются повторением цифр. При этом, если меньшая цифра стоит перед большей, то первая вычитается из последней. Это называется принципом вычитания. Если имеет место четырехкратное повторение, данное правило на него не распространяется. А если же большая цифра стоит перед меньшей, то, наоборот, они складываются (принцип сложения). Историки отмечают, что данная система датируется примерно пятым веком до нашей эры у этрусков, которые, в свою очередь, могли ее перенять у протокельтов. Для правильного написания большого числа римскими символами необходимо сначала написать количество тысяч, потом - сотен, затем - десятков и в конце - единиц. Стоит отметить, что при этом только некоторые из цифр (например, I, M, X, C) могут дублироваться, но не больше, чем три раза. Следовательно, при помощи римских цифр можно записать практически любое целое число. Для современного человека, чтобы упростить подсчет, существует специальная таблица систем счисления римских цифр.

Использование римских цифр

Данная система счисления очень широко применялась в СССР при обозначении даты для указания месяца. Очень часто на надгробиях даты жизни и смерти указываются в особом формате, где порядковый номер месяца пишется римскими символами. В настоящее время, с переходом на компьютеризированную обработку информации, использование данной системы счисления практически кануло в Лету. Однако есть сферы, где «римский стиль» изображения цифр имеет свои особенности. Например, в странах Западной Европы очень часто используют эти символы на фронтонах зданий для обозначения номера года или в титрах видео- и кинопродукции. Так, в Литве на витринах магазинов или дорожных знаках, вывесках римскими цифрами обозначаются дни недели.

Современное применение римской системы счисления

В настоящее время данный способ написания чисел не имеет широкого применения. Однако исторически устоялось, что она применяется в сферах, о которых мы подробно расскажем в этом разделе. Во всем мире принято указывать номер тысячелетия или века римскими символами. Так же происходит и при написании "порядкового номера" монаршей особы. Например, Елизавета II, Людовик XIV и т.д. Это связано с тем, что данная система счисления более "величественная". Само ее появление ассоциируется с рассветом Римской империи - образцом традиции и классики. По тому же принципу данная система изображения цифр используется для маркировки циферблата в некоторых моделях часов. Еще один распространенный случай применения римских цифр - номера томов в многотомном литературном произведении. Например: «Война и мир», том III. Иногда таким образом нумеруются части книги, разделы или главы. В некоторых изданиях можно встретить обозначение страниц с предисловием к произведению. Это делают для того, чтобы при изменении текста предисловия не менять ссылки на него в теле основного текста. Римские цифры используют для обозначения важных исторических событий или пунктов перечня. Например, II мировая война, XVII съезд КПСС, XXII Олимпийские игры и тому подобное. Помимо тем, так или иначе связанных с историей, данную систему счисления используют в химии - для указания валентности элементов; в музыкальном искусстве - для указания порядкового номера ступени в звуковом ряде. Также римские цифры используют в медицине.

Cтраница 1

Римская система счисления является примером системы с очень сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций.  

Римская система счисления неудобна в пользовании и в настоящее время почти не применяется.  

Римская система счисления - не позиционная, поскольку значение числа не зависит от положения цифры в ряду цифр.  

Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое. Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения.  

В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.  

Примером непозиционной системы может служить римская система счисления, которая сохранилась до наших дней.  

Так, например, в римской системе счисления число XXX содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.  

Более сложной непозиционной системой счисления является римская система счисления. В этой системе используются принципы не только сложения, но и вычитания. Если цифра, имеющая меньший количественный эквивалент, располагается справа от цифры с большим количественным эквивалентом, то их количественные эквиваленты складываются, если слева, то вычитаются.  

До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем - римская система счисления.  

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит и изменяется от ее положения в записи числа. К непозиционным относится римская система счисления, в которой значение цифры не зависит от места ее расположения в числе.  

В римской системе счисления каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, т.е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Таким образом, римская система счисления не является позиционной системой счисления.  

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Так, например, десятичная система счисления является позиционной, а римская система счисления непозиционной.  

Непозиционной системой счисления называют такую систему, в которой количественный эквивалент цифры не зависит от ее месторасположения в записи числа. Примером непозиционной системы счисления, основанной на принципе сложения и вычитания, является общеизвестная римская система счисления, которая практического применения почти не имеет и в дальнейшем не рассматривается.